0 前言
最内稳定圆轨道（Innermost Stable Circular Orbit，ISCO）是测试粒子可以稳定地绕广义相对论中的大质量物体运行的最小边缘稳定圆轨道。ISCO的半径$r_{\rm isco}$取决于中心物体的质量和角动量（自旋），它标记了黑洞吸积盘的内边缘。
ISCO 不应与罗希极限混淆，罗希极限是物理物体在潮汐力将其破坏之前可以绕轨道运行的最内点。ISCO 关注的是理论测试粒子，而不是真实物体。一般来说，ISCO 将比罗氏极限更接近中心物体。
本文介绍下如何推导史瓦西黑洞的最内稳定圆轨道，是一篇学习笔记。
1 有效势
在自然坐标系下（$c=G=1$），史瓦西度规的球坐标形式如下
$$ d s^2 = -f dt^2 + \frac{d r^2}{f} + r^2 d \theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d \phi \tag{1} $$
其中$f = 1 - 2M/r$，$M$表示黑洞质量。因此度规张量形式为
$$ g_{\mu\nu} = \begin{bmatrix} -f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta \end{bmatrix} $$
考虑黑洞周围一个质量为$m$的测试粒子，其拉格朗日作用量为
$$ \widetilde{L} = \frac{m}{2} g_{\mu \nu} \dot{ x }^\mu \dot{ x}^\nu = \frac{m}{2} \left( -f \dot{t}^2 + f^{-1} \dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2 \theta \dot{\phi}^2 \right) $$
为了计算方便，选取坐标系使得测试粒子的轨道面为赤道面，即$\theta = \pi/2$，则拉格朗日作用量简化为
$$ \widetilde{L} = \frac{m}{2} \left( -f \dot{t}^2 + f^{-1} \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) \tag{2} $$
根据四动量的定义$P_\mu = \partial \widetilde{L} / \partial \dot{ x}_\mu$，可知简化后的形式如下
$$ \begin{split} &P_t = \frac{\partial \widetilde{L}}{\partial \dot{t}} = -m f \dot{t} \equiv -E, \\ &P_r = \frac{\partial \widetilde{L}}{\partial \dot{r}} = mf^{-1} \dot{r}, \\ &P_\phi = \frac{\partial \widetilde{L}}{\partial \dot{\phi}} = m r^2 \dot{\phi} \equiv L. \end{split} \tag{3} $$
其中$E$表示能量，$L$表示角动量，是两个守恒量。测试粒子的哈密顿量（Hamiltonian）为
$$ \begin{split} \widetilde{H} &= \dot{ x}^\mu P_\mu - \widetilde{L} = \frac{m}{2} g_{\mu \nu} \dot{ x}^\mu \dot{ x}^\nu \\ &= \frac{m}{2} \left( -f \dot{t}^2 + f^{-1} \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) \end{split} \tag{4} $$
由$\widetilde{H} = -mk/2$可知
$$ \dot{r}^2 = f(f\dot{t}^2 - r^2 \dot{\phi}^2 - k) = f \left( \frac{E^2}{m^2 f} - \frac{L^2}{m^2 r^2} - k \right) \tag{5} $$
对上式进行整理，写为“动能”与“势能”之和的形式，即
$$ m^2 \dot{r}^2 + V(r) = E^2 \tag{6} $$
其中$V(r)$为有效势，形式如下
$$ V(r) = f \left( \frac{L^2}{r^2} + m^2 k \right) \tag{7} $$
2 圆轨道
测试粒子的运动是圆轨道的条件为
$$ \dot{r} = 0 \quad {\rm and} \quad \ddot{r} = 0 \tag{8} $$
根据定义式$\ddot{r} \equiv d \dot{r} / dt$以及$\dot{r} \equiv dr/dt$可知
$$ \ddot{r} = \frac{d \dot{r}}{d t} = \frac{d \dot{r}}{dr} \frac{dr}{dt} = \dot{r} \frac{d \dot{r}}{dr} = \frac{1}{2} \frac{d \dot{r}^2}{dr} \tag{9} $$
联立(5)式和(9)式可得
$$ \ddot{r} = 2ff'\dot{t}^2 - r(2f+rf') \dot{\phi}^2 - kf' \tag{10} $$
将(5)式和(10)式代入(8)式可得
$$ \dot{t}^2 = \frac{2k}{2f - rf'}, \qquad \dot{\phi}^2 = \frac{kf'}{r(2f - rf')}. \tag{11} $$
联立(3)式可知
$$ E^2 = \frac{2m^2kf^2}{2f - rf'}, \qquad L^2 = \frac{m^2 k r^3 f'}{2f-rf'}. \tag{12} $$
3 最内稳定圆轨道
对于最内稳定圆轨道，除了圆轨道条件外，还需要满足有效势的二阶导数为零，即
$$ V''(r) = 0 \tag{13} $$
首先，对$V(r)$求一阶导数，可得
$$ V'(r) = \frac{dV(r)}{dr} = f' \left( \frac{L^2}{r^2} + m^2k \right) + f \left( \frac{2LL'}{r^2} - \frac{2L^2}{r^3} \right) $$
根据公式（3）的第三个公式可知$L' = 2L/r$，代入上式可得
$$ V'(r) = f' \left( \frac{L^2}{r^2} + m^2k \right) + \frac{2fL^2}{r^3} = \frac{2f + rf'}{r^3}L^2 + m^2kf' $$
继续求导，有
$$ \begin{split} V''(r) &= -\frac{3(2f + rf')L^2}{r^4} + \frac{(2f' + f' + rf'')L^2 + (2f+rf')2LL'}{r^3} + m^2kf'' \\ &= (2f + 4rf' + r^2 f'') \frac{L^2}{r^4} + m^2kf'' \\ \end{split} \tag{14} $$
将(12)式和(14)式代入(13)式，可得最内稳定圆轨道的大小为
$$ r_{\rm isco} = 6M $$