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2023-07-17
使用标势推导朗谬尔波
0 准备工作 引入标势$\varphi$和矢势$\mathbf{A}$,有 $$ \mathbf{E} = -\nabla \varphi, \qquad \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} $$ 则麦克斯韦方程组可以写为 $$ \nabla^2 \varphi = - \rho / \varepsilon_0, \qquad \nabla^2 \mathbf{A} - \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) = - \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \nabla\frac{\partial \varphi}{\partial t} $$ 1 求解色散关系 1.1 双流程方程组 对于非磁化等离子体,双流体方程组的电子部分可以写为 $$ \left\{ \begin{split} &\nabla^2 \varphi = - \rho / \varepsilon_0 \\ &\frac{\partial n_e}{\partial t} + \nabla \cdot (n_e \mathbf{u_e}) = 0 \\ &n_e m_e \frac{\partial \mathbf{u_e}}{\partial t} = n_e e \nabla \varphi - \nabla p_e \end{split} \right. \tag{1} $$ 1.2 微扰法和平面波化 微扰法:离子作为正电荷背景,即$n_i = n_0$;设电子数密度由背景量和扰动量组成,即$n_e = n_0 + n_{e1}$。则电荷密度$\rho =-e n_{e1}$。 平面波化:设所有的扰动具有指数项$e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}$,即具有平面波的形式,则有$\partial/\partial t = -i\omega$和$\nabla = i\mathbf{k}$。 因此双流体方程中电子部分可以改写为 $$ \left\{ \begin{split} &-k^2 \varphi = \frac{e}{\varepsilon_0} n_{e1} \\ &-i\omega n_{e1} + i n_0 \mathbf{k} \cdot \mathbf{u_e} = 0 \\ &-i\omega n_0 m_e \mathbf{u_e} = i \mathbf{k} n_0 e \varphi - i\mathbf{k} \gamma_e k_B T_e n_{e1} \end{split} \right. \tag{2} $$ 运动速度$\mathbf{u_e}$只考虑波矢$\mathbf{k}$方向的分量。则上述方程组进一步简化为 $$ \left\{ \begin{split} &-k^2 \varphi = \frac{e}{\varepsilon_0} n_{e1} \\ &-\omega n_{e1} + k n_0 u_{e\parallel} = 0 \\ &-\omega n_0 m_e u_{e \parallel} = k n_0 e \varphi - k \gamma_e k_B T_e n_{e1} \end{split} \right. \tag{3} $$ 联立上述方程组第二、第三两个方程,消去$u_{e\parallel}$可得 $$ n_{e1} = \frac{k^2 n_0 e}{k^2 \gamma_e k_B T_e - \omega^2 m_e} \varphi \tag{4} $$ 将上式代入方程组的第一个方程,消去$n_{e1}$和$\varphi$可得朗谬尔波的色散关系为 $$ \omega^2 = \frac{n_0 e^2}{\varepsilon_0 m_e} + \frac{\gamma_e k^2 k_B T_e}{m_e} = \omega_{pe}^2 + \frac{\gamma_e}{2} k^2 v_{the}^2 \tag{5} $$ 2 总结 从上述推导过程可以看出,使用标势推导色散关系相对而言更为简洁,且结论一致。标势的引入,也更有利于将结论推广至弯曲时空。此处,只是一个简单的尝试和复习以前的知识,并无独创之处。
2023年07月17日
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2023-06-25
朗谬尔振荡和朗谬尔波
1 朗谬尔(Langmiur)振荡 1.1 限制条件 考虑温度可以忽略不计的非磁化等离子体,对于与电子相关的现象(即高频部分),离子由于质量较大无法及时响应高频振荡,因此可看作不动的正电荷背景。当电子相对离子发生小扰动时,设扰动产生的扰动电场$\mathbf{E_1}$。 下图中红点表示离子,蓝点表示电子。 忽略磁场$\mathbf{B}$的等离子体称为非磁化等离子体,相对地,考虑磁场$\mathbf{B}$的等离子体称为磁化等离子体。 设$n_{e,i}$表示电子/离子数密度,$\mathbf{u_{e,i}}$表示电子/离子速度,$m_{e,i}$表示电子/离子质量,则电荷密度$\rho = e (n_i - n_e)$。 1.2 双流体方程组 由高斯定律可知 $$ \nabla \cdot \mathbf{E_1} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} = \frac{e}{\varepsilon_0}(n_i - n_e) \tag{1} $$ 由法拉第电磁感应定律可知 $$ \nabla \times \mathbf{E_1} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0 \tag{2} $$ 电子和离子的运动需要分开讨论,由于离子作为不动的正电荷背景,此处只考虑电子。由连续性方程可知 $$ \frac{\partial n_e}{\partial t} + \nabla \cdot (n_e \mathbf{u_e}) = 0 \tag{3} $$ 由运动方程可知 $$ n_e m_e \frac{\partial \mathbf{u_e}}{\partial t} = -n_e e(\mathbf{E_1} + \mathbf{u_e} \times \mathbf{B}) = - n_e e \mathbf{E_1} \tag{4} $$ 1.3 微扰法和平面波化 微扰法:离子作为正电荷背景,即$n_i = n_0$;设电子数密度由背景量和扰动量组成,即$n_e = n_0 + n_{e1}$。代入上述方程组,并忽略二阶小项,则方程组可改写为 $$ \left\{ \begin{split} &\nabla \cdot \mathbf{E_1} = -\frac{e}{\varepsilon_0} n_{e1} \\ &\nabla \times \mathbf{E_1} = 0 \\ &\frac{\partial n_{e1}}{\partial t} + n_0 \nabla \cdot \mathbf{u_e} = 0 \\ &m_e \frac{\partial \mathbf{u_e}}{\partial t} = -e\mathbf{E_1} \end{split} \right. \tag{5} $$ 平面波化:设所有的扰动具有指数项$e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}$,即具有平面波的形式。利用$\partial/\partial t = -i\omega$和$\nabla = i\mathbf{k}$对上述方程组进行化简 $$ \left\{ \begin{split} &i\mathbf{k} \cdot \mathbf{E_1} = -\frac{e}{\varepsilon_0} n_{e1} \\ &i\mathbf{k} \times \mathbf{E_1} = 0 \\ &-i\omega n_{e1} + i n_0 \mathbf{k} \cdot \mathbf{u_e} = 0 \\ &-i\omega m_e \mathbf{u_e} = -e\mathbf{E_1} \end{split} \right. \tag{6} $$ 由$i\mathbf{k} \times \mathbf{E_1} = 0$可知$\mathbf{k} \parallel \mathbf{E_1}$,运动速度$\mathbf{u_e}$只考虑扰动电场$\mathbf{E_1}$方向的分量。则上述方程组进一步简化为 $$ \left\{ \begin{split} &i k E_1 = -\frac{e}{\varepsilon_0} n_{e1} \\ &i\omega n_{e1} - i n_0 k u_{e\parallel} = 0 \\ &i\omega m_e u_{e\parallel} = e E_{1} \end{split} \right. \tag{7} $$ 由上述方程组的第二和第三式消去$u_{e\parallel}$可得 $$ n_{e1} = - \frac{i k n_0 e}{\omega^2 m_e} \tag{8} $$ 将(8)式代入(7)式第一个方程,消去$E_1$、$n_{e1}$可得 $$ \omega^2 = \frac{n_0 e^2}{\varepsilon_0 m_e} \Rightarrow \omega_{pe} = \sqrt{\frac{n_0 e^2}{\varepsilon_0 m_e}} \tag{9} $$ 其中$\omega_{pe}$表示朗谬尔频率,也叫做(电子)等离子体频率。由群速度$v_g = d \omega/dk = 0$可知,该振荡只存在于振荡产生的位置,不会向外传播。 2 朗谬尔波 2.1 限制条件 当电子温度不为零且其他条件不变时,由于电子的热运动,可以将振荡区域的信息携带至邻近区域,从而使邻近区域也发生振荡。这样,发生在某处的振荡就能传播出去而形成波,这种波称为等离子体波或朗谬尔波$^{[1]}$。 [1] 《等离子体物理学》李定著,P92. 2.2 色散关系 此时,高斯定律、法拉点电磁感应定律和连续性方程的形式不发生改变,运动方程中需要引入热压梯度项$\nabla p_e$,如下 $$ n_e m_e \frac{\partial \mathbf{u_e}}{\partial t} = -n_e e(\mathbf{E_1} + \mathbf{u_e} \times \mathbf{B}) - \nabla p_e = -n_e e \mathbf{E_1} - \nabla p_e \tag{10} $$ 由状态方程$p_e \rho_e^{-\gamma_e} = {\rm consts}$和$p_e = n_e k_B T_e$以及$\rho_e = -e n_e$,可得 $$ \begin{split} &\nabla(p_e \rho_e^{-\gamma_e}) = \rho_e^{-\gamma_e} \nabla p_e + p_e \nabla \rho_e^{-\gamma_e} = \rho_e^{-\gamma_e} \nabla p_e - p_e \gamma_e \rho_e^{-\gamma_e - 1} \nabla \rho_e = 0 \\ \Rightarrow & \nabla p_e = p_e \gamma_e \rho_e^{-1} \nabla \rho_e = \gamma_e k_B T_e \nabla n_{e1} \end{split} \tag{11} $$ 其中$k_B$表示玻尔兹曼常数,$T_e$表示电子温度,$\gamma_e$表示电子比热比(在绝热假设中,$\gamma_e = 3$;在等温假设中,$\gamma_e = 1$)。将上式代入(10)式,则完整的方程组可以写为 $$ \left\{ \begin{split} &\nabla \cdot \mathbf{E_1} = -\frac{e}{\varepsilon_0} n_{e1} \\ &\nabla \times \mathbf{E_1} = 0 \\ &\frac{\partial n_{e1}}{\partial t} + n_0 \nabla \cdot \mathbf{u_e} = 0 \\ &n_e m_e \frac{\partial \mathbf{u_e}}{\partial t} = -n_e e \mathbf{E_1} - \gamma_e k_B T_e \nabla n_{e1} \end{split} \right. \tag{12} $$ 平面波化后,上述方程组改写为 $$ \left\{ \begin{split} &i\mathbf{k} \cdot \mathbf{E_1} = -\frac{e}{\varepsilon_0} n_{e1} \\ &i\mathbf{k} \times \mathbf{E_1} = 0 \\ &-i\omega n_{e1} + i n_0 \mathbf{k} \cdot \mathbf{u_e} = 0 \\ &-i\omega n_0 m_e \mathbf{u_e} = -n_0 e\mathbf{E_1} - i k \gamma_e k_B T_e n_{e1} \end{split} \right. \tag{13} $$ 同样地,运动速度$\mathbf{u_e}$只考虑扰动电场$\mathbf{E_1}$方向的分量,将上述方程组化简为 $$ \left\{ \begin{split} &i k E_1 = -\frac{e}{\varepsilon_0} n_{e1} \\ &i\omega n_{e1} - i n_0 k u_{e\parallel} = 0 \\ &i\omega n_0 m_e u_{e\parallel} = n_0 e E_{1} + i k \gamma_e k_B T_e n_{e1} \end{split} \right. \tag{14} $$ 由上述方程组的第二和第三式消去$u_{e\parallel}$可得 $$ n_{e1} = - \frac{ik n_0 e}{\omega^2 m_e - k^2 \gamma_e k_B T_e} E_1 \tag{15} $$ 将(15)式代入(14)式第一个方程,消去$E_1$、$n_{e1}$可得 $$ \omega^2 = \frac{n_0 e^2}{\varepsilon_0 m_e} + \frac{\gamma_e k^2 k_B T_e}{m_e} = \omega_{pe}^2 + \frac{\gamma_e}{2} k^2 v_{the}^2 \tag{16} $$ 其中$v_{the} = \sqrt{2 k_B T_e / m_e}$表示电子热速度。上式即为朗谬尔波的色散关系,从(16)式可以看出,只有当$\omega > \omega_{pe}$时,朗谬尔波才能传播。
2023年06月25日
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