0 前言

目前的工作中，总是会不可避免的需要计算红移，最近对这个问题进行了一些深入的学习，在此记录一下。

本文中仍然考虑一般的静态球对称时空，度规表达式为

$$ d s^2 = -f(r) dt^2 + \frac{d r^2}{h(r)} + r^2 d \theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d \phi \tag{1} $$ 其中$f(r)$、$h(r)$对不同的黑洞取值不同，后续为表示方便简写为$f$和$h$。

1 红移因子

一个光源在时空某点发射频率为$\nu_e$的光子，在另一点被静止观测者接收，测得的频率为$\nu_o$，则红移因子$z$的定义为：

$$ z = \frac{\nu_e - \nu_o}{\nu_o} \Longrightarrow 1 + z = \frac{\nu_e}{\nu_o} = \frac{E_e}{E_o} \tag{2} $$ 其中$E = - p_\mu u^\mu$表示测得的光子能量。
  • 负号约定源于闵式度规$(-,+,+,+)$，是为了保证在平坦时空低速极限下，能量$E$为正。
  • 需要注意四速属于光源和观测者，因为是他们测量了光子的频率。

因此，红移因子的关系式可以进一步写为

$$ 1 + z = \frac{p_\mu u^\mu_e}{p_\mu u^\mu_o} \tag{3} $$

对于光源和观测者，类时世界线要求四速度的内积满足归一化条件$u_\mu u^\mu = -1$，即

$$ g_{tt} (u^t)^2 + g_{rr} (u^r)^2 + g_{\theta\theta} (u^\theta)^2 + g_{\phi\phi} (u^\phi)^2 = -1 \tag{4} $$

2 静止的观测者

一般情况下我们只考虑静止的观测者，四速为$(u^t_o,0,0,0)$，可得

$$ u^t_o = \frac{1}{\sqrt{-g_{tt}(r_o)}} = \frac{1}{\sqrt{f(r_o)}} \tag{5} $$ 从而有 $$ p_\mu u^\mu_o = p_t u^t_o = \frac{p_t}{\sqrt{f(r_o)}} \tag{6} $$ 其中$p_t = -E_\lambda$是一个守恒量。

倘若观测者处于无穷远处，则上式可进一步简化为

$$ p_\mu u^\mu_o = p_t \tag{7} $$

3 对光源的分析

3.1 静止的光源

倘如光源静止，则四速为$(u^t_e,0,0,0)$，与静止的观测者类似，可得

$$ u^t_e = \frac{1}{\sqrt{f(r_e)}} \tag{8} $$ 从而有 $$ p_\mu u^\mu_e = p_t u^t_e = \frac{p_t}{\sqrt{f(r_e)}} \tag{9} $$ 联立（3）、（6）和（9）式，可得 $$ 1 + z = \sqrt{\frac{f(r_o)}{f(r_e)}} \tag{10} $$

倘若观测者处于无穷远处，则上式可进一步简化为

$$ 1 + z = \frac{1}{\sqrt{f(r_e)}} \tag{11} $$

2.2 圆轨道上的光源

倘若光源在赤道面（$\theta = \pi / 2$）上以半径为$R$的圆轨道绕着黑洞运动，则四速为$(u^t_e, 0, 0, u^\phi_e)$，由归一化条件（4）式可得

$$ g_{tt} (u^t_e)^2 + g_{\phi\phi} (u^\phi_e)^2 = -1 \tag{12} $$

结合圆轨道条件，参考《静态球对称黑洞最内稳定圆轨道的计算》博客的公式（9），可得

$$ u_e^t = \sqrt{\frac{2}{2f - rf'}}, \qquad u_e^\phi = \sqrt{\frac{f'}{r(2f - rf')}}. \tag{13} $$

假设观测者处于无穷远处，联立（3）、（7）和（13）式，可得红移因子的关系式为

$$ 1 + z = \frac{p_\mu u^\mu_e}{p_\mu u^\mu_o} = \frac{p_t u^t_e + p_\phi u^\phi_e}{p_t} = u^t_e + \frac{p_\phi}{p_t} u^\phi_e \tag{14} $$ 注意$p_\phi$需要考虑光源与观测者之间的相位差，在实际计算过程中需要建立合适的坐标系，根据坐标关系求解。

假设观测者平面的法线位于$yOz$平面且与$z$轴的夹角为$\theta_0$，同时光源在赤道面的方位角为$\phi$。考虑观测者平面上方位角为$\alpha$冲击参数为$b$的光子，有

$$ \frac{p_\phi}{p_t} = \frac{g_{\phi\phi}}{g_{tt}} \frac{d \phi}{d t} = - r^2 \sin^2 \theta_0 \frac{d \phi}{d t} \tag{15} $$
  • $p_\phi / p_t$是守恒量，既可以在光源处考虑，也可以在观测者平面处考虑，但在观测者平面上考虑更容易求解$d\phi / dt$；
  • 观测者平面上的方位角$\alpha$与光源在赤道面的方位角$\phi$是一一对应的；
  • $r$为黑洞中心到观测者平面上光子位置的距离。

在观测者平面上，可以证明

$$ \frac{d \phi}{d t} = \frac{b \sin \alpha}{(r^2 - b^2) \sin \theta_0} \tag{16} $$ 从而有 $$ \frac{p_\phi}{p_t} = - b \sin \alpha \sin \theta_0 \tag{17} $$ 因此红移因子的关系式最终可表示为 $$ 1 + z = u^t_e - u^\phi_e b \sin \alpha \sin \theta_0 \tag{18} $$

2.3 暴跌轨道上的光源

倘若光源在赤道面（$\theta = \pi / 2$）上以暴跌轨道（Plunging Orbit）运动至黑洞视界，则四速为$(u^t_e, u^r_e, 0, u^\phi_e)$，由归一化条件（4）式可得

$$ g_{tt} (u^t_e)^2 + g_{rr} (u^r_e)^2 + g_{\phi\phi} (u^\phi_e)^2 = -1 \tag{19} $$ 假设暴跌轨道上光源是因为微扰从ISCO向内旋进的，考虑无辐射的理想情况，则有能量$E_\lambda$和角动量$L_\lambda$保持为ISCO时的值，此时四速可表示为 $$ u^t_e = \frac{E_\lambda}{f}, \qquad u^r_e = - \sqrt{\frac{h}{f}E_\lambda^2 - h \left( 1 + \frac{L_\lambda^2}{r^2} \right)}, \qquad u^\phi_e = \frac{L_\lambda}{r^2}. \tag{20} $$

向内旋进过程中，$u^r_e < 0$，所以开根号后取负值。

其中能量和角动量可表示为

$$ E_\lambda^2 = \frac{2f(r_\text{ISCO})^2}{2f(r_\text{ISCO}) - r_\text{ISCO}f'(r_\text{ISCO})}, \qquad L_\lambda^2 = \frac{r_\text{ISCO}^3 f'(r_\text{ISCO})}{2f(r_\text{ISCO} - r_\text{ISCO} f'(r_\text{ISCO})}. \tag{21} $$ 假设**观测者处于无穷远处**，联立（3）、（7）和（20）式，可得红移因子的关系式为 $$ 1 + z = \frac{p_\mu u^\mu_e}{p_\mu u^\mu_o} = u^t_e + \frac{p_r}{p_t} u^r_e + \frac{p_\phi}{p_t} u^\phi_e \tag{22} $$ 考虑与2.2节相同的情况，则$p_\phi / p_t$分析过程一致，类似的分析过程可以得到 $$ \frac{p_r}{p_t} = \frac{g_{rr}}{g_{tt}} \frac{dr}{dt} = -\frac{1}{hf} \sqrt{1 - \frac{b^2}{r^2}} = -1 \tag{23} $$ 因此红移因子的关系式最终可表示为 $$ 1 + z = u^t_e - u_e^r - u^\phi_e b \sin \alpha \sin \theta_0 \tag{24} $$

参考资料

  • 元宝（Deep Seek模型）
  • ChatGPT
  • Yehui Hou, Zhenyu Zhang, Haopeng Yan, Minyong Guo, and Bin Chen. 2022. “Image of a Kerr-Melvin Black Hole with a Thin Accretion Disk.” Physical Review D 106(6):064058. doi:10.1103/PhysRevD.106.064058.